Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Kiến thức trọng tâm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và góc nhọn $B$. Ba cạnh được gọi tên theo vị trí đối với góc $B$: cạnh huyền $BC$ đối diện góc vuông; cạnh đối $AC$ đối diện góc $B$; cạnh kề $AB$ cùng với cạnh huyền tạo thành góc $B$.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn $B$ gồm bốn tỉ số:

• Sin: $\sin B = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{AC}{BC}$.
• Cosin: $\cos B = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{AB}{BC}$.
• Tang: $\tan B = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \dfrac{AC}{AB}$.
• Cotang: $\cot B = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \dfrac{AB}{AC}$.

Vì cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền nên 0 < \sin B < 1 và 0 < \cos B < 1. Ngoài ra, $\tan B \cdot \cot B = 1$ và $\tan B = \dfrac{\sin B}{\cos B}$.

Nếu hai góc nhọn phụ nhau, chẳng hạn $B + C = 90^\circ$, thì sin góc này bằng cosin góc kia: $\sin B = \cos C$ và $\cos B = \sin C$. Cần nhớ tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt: $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$.

2. Ví dụ minh họa

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

Lời giải. Theo định lí Pythagore: $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm. Với góc $B$, cạnh đối là $AC = 8$ cm, cạnh kề là $AB = 6$ cm, cạnh huyền là $BC = 10$ cm. Do đó $\sin B = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$, $\cos B = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$, $\tan B = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$, $\cot B = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.

3. Ghi nhớ

• Xác định đúng cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền theo đúng góc đang xét, vì góc khác nhau thì cạnh đối và cạnh kề đổi chỗ cho nhau.
• Tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc, không phụ thuộc vào kích thước của tam giác.
• Thuộc bảng tỉ số lượng giác của các góc $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ để tính nhanh và kiểm tra kết quả.