Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

1. Kiến thức trọng tâm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đặt $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc cosin của góc kề với nó: $b = a\sin B = a\cos C$; $c = a\sin C = a\cos B$.

Mỗi cạnh góc vuông còn bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc cotang của góc kề với nó: $b = c\tan B = c\cot C$; $c = b\tan C = b\cot B$.

Các hệ thức trên cho phép giải tam giác vuông, tức là tìm các cạnh và góc còn lại khi biết trước hai yếu tố, trong đó ít nhất một yếu tố là cạnh. Khi giải tam giác vuông, ta thường làm tròn kết quả theo yêu cầu của đề bài, ví dụ làm tròn độ dài đến hàng phần mười và số đo góc đến độ.

2. Ví dụ minh họa

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10$ cm, góc $B = 60^\circ$. Tính $AC$ và $AB$.

Lời giải. $AC$ đối diện với góc $B$ nên $AC = BC\sin B = 10\sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8,7$ cm. $AB$ kề với góc $B$ nên $AB = BC\cos B = 10\cos 60^\circ = 5$ cm.

Ví dụ thực tế: đứng cách chân tháp $20$ m, ngắm lên đỉnh tháp với góc nâng $35^\circ$, mắt người quan sát cao $1,6$ m. Chiều cao phần tháp trên tầm mắt là $20\tan 35^\circ \approx 14$ m, nên tháp cao khoảng $15,6$ m.

3. Ghi nhớ

• Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang.
• Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề.
• Khi làm bài thực tế, cần cộng thêm chiều cao của dụng cụ đo hoặc tầm mắt nếu đề bài cho.