Bài tập — Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại. D. Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đặt $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ . B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Mỗi cạnh góc vuông còn bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc cotang của góc kề với nó: $b = c\tan B = c\cot C$ ; $c = b\tan C = b\cot B$ . C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10$ cm, góc $B = 60^\circ$ . Tính $AC$ và $AB$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải. $AC$ đối diện với góc $B$ nên $AC = BC\sin B = 10\sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8,7$ cm. $AB$ kề với góc $B$ nên $AB = BC\cos B = 10\cos 60^\circ = 5$ cm.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Gieo một đồng xu cân đối $3$ lần. Tính xác suất được đúng $2$ mặt sấp.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 4 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Không giải phương trình, tính $\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang."
- Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề."
- Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đặt $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ ."
- Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Mỗi cạnh góc vuông còn bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc cotang của góc kề với nó: $b = c\tan B = c\cot C$ ; $c = b\tan C = b\cot B$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đặt $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ . Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc cosin của góc kề với nó: $b = a\sin B = a\cos C$ ; $c = a\sin C = a\cos B$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang.; Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề.; Khi làm bài thực tế, cần cộng thêm chiều cao của dụng cụ đo hoặc tầm mắt nếu đề bài cho.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10$ cm, góc $B = 60^\circ$ . Tính $AC$ và $AB$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng (Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang.; Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề.; Khi làm bài thực tế, cần cộng thêm chiều cao của dụng cụ đo hoặc tầm mắt nếu đề bài cho.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. $AC$ đối diện với góc $B$ nên $AC = BC\sin B = 10\sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8,7$ cm. $AB$ kề với góc $B$ nên $AB = BC\cos B = 10\cos 60^\circ = 5$ cm.
Bài 4: Các kết quả có đúng $2$ mặt sấp: $SSN, SNS, NSS$ — $3$ kết quả trên $8$ . Xác suất: $\dfrac{3}{8}$ .
Bài 5: $\Delta' = m^2 - (m^2 - 4) = 4 > 0$ với mọi $m$ , nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 6: $\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \dfrac{25 - 12}{36} = \dfrac{13}{36}$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

, đặt

BC = a

CA = b

AB = c

. B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

b = c\tan B = c\cot C

;

c = b\tan C = b\cot B

. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10$ cm, góc $B = 60^\circ$ . Tính $AC$ và $AB$ .

Lời giải. $AC$ đối diện với góc $B$ nên $AC = BC\sin B = 10\sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8,7$ cm. $AB$ kề với góc $B$ nên $AB = BC\cos B = 10\cos 60^\circ = 5$ cm.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Gieo một đồng xu cân đối

3

lần. Tính xác suất được đúng

2

mặt sấp.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh phương trình

x^2 - 2mx + m^2 - 4 = 0

luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

m

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Cho phương trình

x^2 - 5x + 6 = 0

. Không giải phương trình, tính

\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang."
Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề."
Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đặt $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ ."
Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Mỗi cạnh góc vuông còn bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc cotang của góc kề với nó: $b = c\tan B = c\cot C$ ; $c = b\tan C = b\cot B$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đặt $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ . Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc cosin của góc kề với nó: $b = a\sin B = a\cos C$ ; $c = a\sin C = a\cos B$ .
Tổng kết ghi nhớ: Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang.; Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề.; Khi làm bài thực tế, cần cộng thêm chiều cao của dụng cụ đo hoặc tầm mắt nếu đề bài cho.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10$ cm, góc $B = 60^\circ$ . Tính $AC$ và $AB$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng (Cạnh đối dùng sin, cạnh kề dùng cos khi nhân với cạnh huyền; giữa hai cạnh góc vuông dùng tang hoặc cotang.; Xác định rõ góc đang xét trước khi áp dụng hệ thức, tránh nhầm cạnh đối và cạnh kề.; Khi làm bài thực tế, cần cộng thêm chiều cao của dụng cụ đo hoặc tầm mắt nếu đề bài cho.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. $AC$ đối diện với góc $B$ nên $AC = BC\sin B = 10\sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8,7$ cm. $AB$ kề với góc $B$ nên $AB = BC\cos B = 10\cos 60^\circ = 5$ cm.

Bài 4: Các kết quả có đúng

2

mặt sấp:

SSN, SNS, NSS

—

3

kết quả trên

8

. Xác suất:

\dfrac{3}{8}

Bài 5:

\Delta' = m^2 - (m^2 - 4) = 4 &gt; 0

với mọi

m

, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài 6:

\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \dfrac{25 - 12}{36} = \dfrac{13}{36}