Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hai điểm $A$ và $B$ thuộc đường tròn $(O)$. Hai điểm này chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung, kí hiệu là $\overparen{AB}$. Cung nhỏ là cung có số đo nhỏ hơn $180^\circ$, cung lớn là cung có số đo lớn hơn $180^\circ$. Nếu $A$ và $B$ là hai đầu mút của một đường kính thì hai cung tạo thành là hai nửa đường tròn, mỗi cung có số đo $180^\circ$.

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng $360^\circ$ trừ đi số đo của cung nhỏ có cùng hai đầu mút. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn, hai cạnh cắt đường tròn tại hai điểm.

Đoạn thẳng nối hai đầu mút của một cung gọi là dây căng cung đó. Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau và ngược lại, hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau. Cung lớn hơn thì căng dây lớn hơn. Ngoài ra, hai cung bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại; dây lớn hơn thì gần tâm hơn.

Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây và đi qua trung điểm của cung bị chắn bởi dây đó. Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.

2. Ví dụ minh họa

Cho đường tròn $(O; 6 \text{ cm})$ và góc ở tâm $\widehat{AOB} = 80^\circ$. Tính số đo cung nhỏ $AB$ và số đo cung lớn $AB$.

Lời giải. Số đo cung nhỏ $AB$ bằng số đo góc ở tâm chắn nó nên bằng $80^\circ$. Số đo cung lớn $AB$ bằng $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$.

3. Ghi nhớ

• Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung; số đo cung lớn bằng $360^\circ$ trừ số đo cung nhỏ.
• Cung bằng nhau căng dây bằng nhau; dây càng lớn thì càng gần tâm.
• Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây; dùng tính chất này kết hợp với định lí Pythagore để tính độ dài dây hoặc bán kính.