Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Kiến thức trọng tâm

Cho đường tròn $(O; R)$ và cung $AB$ có số đo $n^\circ$. Độ dài $l$ của cung đó được tính bằng công thức $l = \dfrac{\pi R n}{180}$. Đặc biệt, độ dài của cả đường tròn, còn gọi là chu vi, là $C = 2\pi R$, ứng với $n = 360$.

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó. Diện tích $S$ của hình quạt tròn bán kính $R$, ứng với cung có số đo $n^\circ$, là $S = \dfrac{\pi R^2 n}{360}$. Có thể viết gọn công thức này theo độ dài cung $l$: $S = \dfrac{lR}{2}$.

Hình vành khuyên là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R$ và $r$ với R > r. Diện tích của hình vành khuyên là hiệu diện tích hai hình tròn: $S = \pi (R^2 - r^2)$. Trong thực tế, hình vành khuyên xuất hiện ở nhiều vật quen thuộc như vòng đệm hay mặt đường chạy quanh sân vận động.

Khi tính toán, cần chú ý đơn vị: độ dài cung có cùng đơn vị với bán kính, diện tích có đơn vị là đơn vị độ dài bình phương. Nên giữ nguyên $\pi$ trong kết quả nếu đề bài không yêu cầu làm tròn, hoặc thay $\pi \approx 3,14$ khi cần giá trị gần đúng.

2. Ví dụ minh họa

Cho đường tròn $(O; 6 \text{ cm})$ và cung $AB$ có số đo $120^\circ$. Tính độ dài cung $AB$ và diện tích hình quạt tròn $OAB$.

Lời giải. Độ dài cung $AB$ là $l = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 120}{180} = 4\pi \approx 12,56$ cm. Diện tích hình quạt tròn $OAB$ là $S = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 120}{360} = 12\pi \approx 37,68$ cm². Kiểm tra bằng công thức $S = \dfrac{lR}{2} = 12\pi$ cm², trùng với kết quả trên.

3. Ghi nhớ

• Độ dài cung: $l = \dfrac{\pi R n}{180}$; diện tích quạt tròn: $S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{lR}{2}$.
• Diện tích hình vành khuyên: $S = \pi (R^2 - r^2)$.
• Số đo $n$ trong công thức luôn tính bằng độ; đừng nhầm với số đo radian hay độ dài cung.