Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ với $R \ge r$, đặt $d = OO'$ là khoảng cách giữa hai tâm. So sánh $d$ với $R + r$ và $R - r$, ta có các vị trí tương đối sau:

• Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi R - r < d < R + r.
• Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm khi $d = R + r$. Điểm chung duy nhất nằm trên đoạn thẳng nối hai tâm.
• Hai đường tròn tiếp xúc trong tại một điểm khi $d = R - r$ (với R > r). Điểm chung duy nhất nằm trên đường thẳng nối hai tâm.
• Hai đường tròn ngoài nhau, không giao nhau, khi d > R + r.
• Đường tròn $(O'; r)$ nằm trong đường tròn $(O; R)$, không giao nhau, khi d < R - r. Đặc biệt, hai đường tròn đồng tâm khi $d = 0$.

Đường thẳng nối hai tâm gọi là đường nối tâm. Khi hai đường tròn cắt nhau, dây chung của chúng vuông góc với đường nối tâm tại trung điểm của dây chung. Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

2. Ví dụ minh họa

Cho hai đường tròn $(O; 7 \text{ cm})$ và $(O'; 3 \text{ cm})$ với $OO' = 10$ cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Lời giải. Ta có $R + r = 7 + 3 = 10$ cm và $d = OO' = 10$ cm. Vì $d = R + r$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm.

3. Ghi nhớ

• Nhớ bảng so sánh: cắt nhau khi R - r < d < R + r; tiếp xúc ngoài khi $d = R + r$; tiếp xúc trong khi $d = R - r$; ngoài nhau khi d > R + r; một đường tròn nằm trong đường tròn kia khi d < R - r.
• Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp điểm luôn nằm trên đường nối tâm.
• Khi hai đường tròn cắt nhau, dây chung vuông góc với đường nối tâm tại trung điểm của nó.