Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

1. Kiến thức trọng tâm

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $a \ne 0$, $a$, $b$, $c$ là các số đã biết và $x$ là ẩn. Nếu $x = x_0$ thỏa mãn phương trình thì $x_0$ gọi là một nghiệm của phương trình. Giải phương trình bậc hai là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Cách giải dùng công thức nghiệm: tính biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Nếu \Delta > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ và $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Nếu $\Delta = 0$: phương trình có nghiệm kép $x = \dfrac{-b}{2a}$.
• Nếu \Delta < 0: phương trình vô nghiệm.

Khi $b$ là số chẵn, ta có thể dùng công thức nghiệm thu gọn với $b' = \dfrac{b}{2}$ và $\Delta' = b'^2 - ac$: nếu \Delta' > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$; nếu $\Delta' = 0$, phương trình có nghiệm kép $x = \dfrac{-b'}{a}$; nếu \Delta' < 0, phương trình vô nghiệm.

Ngoài ra, có thể nhẩm nghiệm trong một số trường hợp đặc biệt: nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = \dfrac{c}{a}$; nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = -\dfrac{c}{a}$.

2. Ví dụ minh họa

Giải phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Lời giải. Ta có $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Biệt thức \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3$ và $x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2$.

3. Ghi nhớ

• Xác định đúng $a$, $b$, $c$, chú ý dấu của $b$ và $c$ trước khi tính $\Delta$.
• Dấu của $\Delta$ quyết định số nghiệm: \Delta > 0 hai nghiệm phân biệt, $\Delta = 0$ nghiệm kép, \Delta < 0 vô nghiệm.
• Khi $b$ chẵn, dùng công thức nghiệm thu gọn để tính nhanh hơn.