Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1. Kiến thức trọng tâm

Nhiều bài toán thực tế được giải gọn bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn. Các bước thực hiện như sau:

• Bước 1 — Lập phương trình: Chọn ẩn số, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết, rồi lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
• Bước 2 — Giải phương trình: Giải phương trình bậc hai vừa lập được bằng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn hoặc nhẩm nghiệm theo định lí Viète.
• Bước 3 — Kiểm tra và kết luận: Đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn và với thực tế bài toán, rồi trả lời.

Một số dạng quen thuộc: bài toán chuyển động (quãng đường $s = v \cdot t$), bài toán năng suất (khối lượng công việc $=$ năng suất $\times$ thời gian), bài toán hình học (diện tích, chu vi), bài toán tìm hai số biết tổng và tích.

2. Ví dụ minh họa

Một hình chữ nhật có chu vi $34$ cm và diện tích $60$ cm$^{2}$. Tìm chiều dài và chiều rộng.

Lời giải: Gọi chiều rộng là $x$ (cm), điều kiện 0 < x < 17. Chiều dài là $17 - x$ (cm). Diện tích cho phương trình $x(17 - x) = 60$, hay $x^{2} - 17x + 60 = 0$. Ta có $\Delta = 289 - 240 = 49$, nên $x = \dfrac{17 - 7}{2} = 5$ hoặc $x = \dfrac{17 + 7}{2} = 12$. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy chiều rộng $5$ cm, chiều dài $12$ cm.

3. Ghi nhớ

• Luôn đặt điều kiện cho ẩn trước khi lập phương trình.
• Sau khi giải, phải đối chiếu nghiệm với điều kiện và với thực tế.
• Chọn ẩn khéo léo (đại lượng cần tìm hoặc đại lượng liên quan trực tiếp) giúp phương trình đơn giản hơn.