Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

• Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm của nó là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác, gọi là tâm ngoại tiếp. Bán kính ngoại tiếp thường kí hiệu $R$.
• Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Tâm của nó là giao điểm của ba đường phân giác trong, gọi là tâm nội tiếp. Bán kính nội tiếp thường kí hiệu $r$.
• Mọi tam giác đều có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp và duy nhất một đường tròn nội tiếp.
• Với tam giác $ABC$ vuông tại $A$: tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $BC$, và $R = \dfrac{BC}{2}$.
• Diện tích tam giác liên hệ với bán kính nội tiếp: $S = p \cdot r$, với $p$ là nửa chu vi tam giác.
• Với tam giác đều cạnh $a$: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, nên $R = 2r$.

2. Ví dụ minh họa

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Lời giải: Cạnh huyền $BC = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ cm. Bán kính ngoại tiếp $R = \dfrac{BC}{2} = 5$ cm. Nửa chu vi $p = \dfrac{6 + 8 + 10}{2} = 12$ cm, diện tích $S = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm$^{2}$. Bán kính nội tiếp $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{24}{12} = 2$ cm.

3. Ghi nhớ

• Tâm ngoại tiếp: giao ba đường trung trực. Tâm nội tiếp: giao ba đường phân giác trong.
• Tam giác vuông: tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.
• Công thức $S = p \cdot r$ dùng được cho mọi tam giác.