Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1. Kiến thức trọng tâm

Nhiều bài toán thực tế có hai đại lượng chưa biết liên hệ với nhau bởi hai điều kiện. Ta có thể giải bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo các bước sau:

Bước 1. Lập hệ phương trình.

• Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn (ví dụ: số lượng phải là số tự nhiên, độ dài phải dương).
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo hai ẩn đã chọn và các đại lượng đã biết.
• Dựa vào hai điều kiện của bài toán để lập hai phương trình, từ đó được hệ phương trình.

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Kiểm tra và kết luận. Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra và điều kiện thực tế, rồi trả lời bài toán.

Chìa khóa của bước 1 là đọc kĩ đề, xác định đúng hai đại lượng cần tìm và diễn đạt hai mối quan hệ bằng hai phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Hai bạn An và Bình có tổng cộng $30$ quyển vở. Nếu An cho Bình $4$ quyển thì số vở của hai bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?

Lời giải. Gọi số vở lúc đầu của An là $x$ (quyển), của Bình là $y$ (quyển), với $x, y$ là số tự nhiên dương.

Theo đề bài, ta có hệ: $\begin{cases} x + y = 30 \ x - 4 = y + 4 \end{cases}$.

Từ phương trình thứ hai: $x - y = 8$. Cộng với phương trình thứ nhất: $2x = 38$, suy ra $x = 19$. Thay vào: $y = 30 - 19 = 11$.

Vậy lúc đầu An có $19$ quyển vở, Bình có $11$ quyển vở.

3. Ghi nhớ

• Ba bước: lập hệ — giải hệ — kiểm tra và kết luận.
• Khi chọn ẩn phải đặt điều kiện phù hợp (số tự nhiên, số dương, ...).
• Luôn kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện thực tế của bài toán hay không.
• Hai phương trình phải xuất phát từ hai điều kiện độc lập của đề bài.