Bài tập cuối chương 3

1. Kiến thức trọng tâm

• Căn bậc hai của số $a$ không âm là $\sqrt{a}$. Ta có $\sqrt{a^2} = |a|$ và $(\sqrt{a})^2 = a$ với $a \ge 0$.
• Căn thức bậc hai $\sqrt{A}$ xác định khi $A \ge 0$. Các phép biến đổi: $\sqrt{A^2 \cdot B} = |A|\sqrt{B}$ với $B \ge 0$; $\sqrt{AB} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ với $A, B \ge 0$; $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ với A \ge 0, B > 0.
• Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{A}} = \frac{\sqrt{A}}{A}$ với A > 0; $\frac{1}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{A} - \sqrt{B}}{A - B}$ với $A, B \ge 0, A \ne B$.
• Căn bậc ba của số $a$ là $\sqrt[3]{a}$, xác định với mọi số thực $a$. Ta có $\sqrt[3]{a^3} = a$ và $(\sqrt[3]{a})^3 = a$. Căn bậc ba của số âm là số âm.
• Để rút gọn biểu thức chứa căn, ta đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu.

2. Ví dụ minh họa

Rút gọn biểu thức $2\sqrt{12} - \sqrt{27} + 3\sqrt{3}$.

Ta có $2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ và $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. Vậy biểu thức bằng $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Tính $\sqrt[3]{-8} + \sqrt{25}$: $\sqrt[3]{-8} = -2$ vì $(-2)^3 = -8$, và $\sqrt{25} = 5$, nên kết quả bằng $3$.

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3. Ghi nhớ

• Trước khi tính, luôn kiểm tra điều kiện xác định của căn thức bậc hai.
• Nhớ $\sqrt{a^2} = |a|$, không được bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi $a$ có thể âm.
• Căn bậc ba xác định với mọi số thực, khác với căn bậc hai chỉ xác định với số không âm.