Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Kiến thức trọng tâm

Nhiều phương trình thoạt nhìn không phải phương trình bậc nhất một ẩn nhưng có thể biến đổi về dạng $ax + b = 0$ ($a \ne 0$) rồi giải.

Phương trình tích: Phương trình có dạng $A(x) \cdot B(x) = 0$ tương đương với $A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$. Ta giải từng phương trình thành phần rồi hợp các nghiệm lại.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Cần xác định điều kiện xác định (mẫu thức khác $0$), sau đó quy đồng và khử mẫu để đưa về phương trình bậc nhất. Cuối cùng, đối chiếu nghiệm với điều kiện xác định và loại nghiệm không thỏa mãn.

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Dùng định nghĩa $|A| = A$ nếu $A \ge 0$ và $|A| = -A$ nếu A < 0 để xét từng trường hợp, hoặc dùng tính chất $|A| = B$ ($B \ge 0$) tương đương với $A = B$ hoặc $A = -B$.

Khi biến đổi, ta được phép cộng, trừ, nhân, chia hai vế với cùng một số khác $0$; cần cẩn thận không nhân hai vế với biểu thức chứa ẩn mà không xét dấu.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình $(x - 2)(2x + 3) = 0$.

Lời giải. Phương trình tương đương với $x - 2 = 0$ hoặc $2x + 3 = 0$, tức $x = 2$ hoặc $x = -\dfrac{3}{2}$. Vậy tập nghiệm là \left{2; -\dfrac{3}{2}\right}.

Ví dụ 2. Giải phương trình $\dfrac{2x - 1}{x - 1} = 3$.

Lời giải. Điều kiện xác định: $x - 1 \ne 0$, tức $x \ne 1$. Khử mẫu: $2x - 1 = 3(x - 1)$, tức $2x - 1 = 3x - 3$, suy ra $x = 2$. Vì $2 \ne 1$ nên $x = 2$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm là ${2}$.

3. Ghi nhớ

• Phương trình tích: $A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.
• Phương trình chứa ẩn ở mẫu: bắt buộc đặt điều kiện xác định và đối chiếu nghiệm.
• Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: xét từng trường hợp theo định nghĩa.