Bài tập cuối chương 4

1. Kiến thức trọng tâm

• Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ được định nghĩa: $\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$, $\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$, $\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}$, $\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$.
• Các hệ thức cơ bản: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$; $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$; $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$; $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.
• Nếu hai góc nhọn phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tan của góc này bằng cot của góc kia.
• Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $a$, ta có $b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$, $c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$, $b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$.
• Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại khi biết hai yếu tố, trong đó có ít nhất một cạnh.

2. Ví dụ minh họa

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = 10$ cm, góc $B = 30^\circ$. Tính $AB$ và $AC$.

Ta có $AB = BC \cdot \cos B = 10 \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ cm. $AC = BC \cdot \sin B = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ cm. Góc $C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Một cột cờ cao $12$ m, tia nắng tạo với mặt đất góc $60^\circ$. Bóng của cột cờ dài $12 : \tan 60^\circ = 12 : \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ m.

3. Ghi nhớ

• Xác định đúng cạnh đối, cạnh kề ứng với góc đang xét, tránh nhầm lẫn giữa các góc.
• Nhớ bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$.
• Khi giải tam giác vuông, dùng quan hệ góc phụ nhau để tìm góc còn lại nhanh chóng.