Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

1. Kiến thức trọng tâm

Bất đẳng thức là một khẳng định có dạng a < b, a > b, $a \le b$ hoặc $a \ge b$, trong đó $a$, $b$ là hai số hoặc hai biểu thức. Nếu a < b thì $b$ lớn hơn $a$; số $a$ gọi là vế trái, $b$ là vế phải của bất đẳng thức.

Các tính chất cơ bản:

• Cộng cùng một số vào hai vế: nếu a < b thì a + c < b + c với mọi số $c$.
• Nhân hai vế với cùng một số dương: nếu a < b và c > 0 thì ac < bc.
• Nhân hai vế với cùng một số âm: nếu a < b và c < 0 thì ac > bc (đổi chiều bất đẳng thức).
• Tính chất bắc cầu: nếu a < b và b < c thì a < c.

Các tính chất trên vẫn đúng khi thay dấu < bằng các dấu >, $\le$, $\ge$ tương ứng. Đặc biệt, khi nhân hoặc chia hai vế cho một số âm, ta phải đổi chiều bất đẳng thức — đây là lỗi thường gặp nhất.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho a < b. So sánh $3a + 1$ và $3b + 1$.

Lời giải. Vì a < b và 3 > 0 nên 3a < 3b. Cộng $1$ vào hai vế: 3a + 1 < 3b + 1.

Ví dụ 2. Cho x > y. So sánh $-2x$ và $-2y$.

Lời giải. Vì x > y và -2 < 0 nên nhân hai vế với $-2$ phải đổi chiều: -2x < -2y.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số $a$: $(a - 1)^2 \ge 0$.

Lời giải. Bình phương của mọi số thực đều không âm, nên $(a - 1)^2 \ge 0$ với mọi $a$.

3. Ghi nhớ

• Cộng cùng một số vào hai vế: bất đẳng thức giữ nguyên chiều.
• Nhân hai vế với số dương: giữ nguyên chiều; với số âm: đổi chiều.
• Tính chất bắc cầu: a < b và b < c thì a < c.
• $a^2 \ge 0$ với mọi số thực $a$.