Bài tập cuối chương 5

1. Kiến thức trọng tâm

• Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ là tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng bằng $R$. Dây là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn; đường kính là dây lớn nhất, bằng $2R$.
• Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, và ngược lại.
• Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn. Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn. Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
• Độ dài cung tròn $n^\circ$: $l = \frac{\pi R n}{180}$. Diện tích hình quạt tròn $n^\circ$: $S = \frac{\pi R^2 n}{360}$. Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm bán kính $R$ và $r$: $S = \pi(R^2 - r^2)$.
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: cắt nhau khi d < R, tiếp xúc khi $d = R$, không giao nhau khi d > R (với $d$ là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng). Hai đường tròn có thể cắt nhau, tiếp xúc hoặc không giao nhau tùy theo khoảng cách hai tâm.

2. Ví dụ minh họa

Cho đường tròn $(O; 6 \text{ cm})$. Tính độ dài cung tròn $60^\circ$ và diện tích hình quạt tròn tương ứng.

Độ dài cung: $l = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 60}{180} = 2\pi$ cm. Diện tích hình quạt: $S = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = 6\pi$ cm².

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn. Khi đó $MA = MB$, tia $MO$ là tia phân giác của góc $AMB$ và cũng là tia phân giác của góc $AOB$.

3. Ghi nhớ

• Phân biệt góc ở tâm và góc nội tiếp khi tính số đo cung: góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Khi tính độ dài cung và diện tích quạt, nhớ đổi số đo góc ra độ và dùng đúng công thức.
• Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm — đây là tính chất dùng nhiều nhất khi chứng minh.