Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

1. Kiến thức trọng tâm

Với số $a \ge 0$, căn bậc hai số học của $a$ là số không âm $x$ sao cho $x^2 = a$, kí hiệu là $\sqrt{a}$. Ta có $(\sqrt{a})^2 = a$ và $\sqrt{a^2} = a$ khi $a \ge 0$. Căn bậc hai của $0$ là $0$. Số âm không có căn bậc hai.

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó $A$ là biểu thức đại số. Căn thức $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi $A \ge 0$. Với $A \ge 0$, ta có $\sqrt{A^2} = A$; với mọi $A$, ta có $\sqrt{A^2} = |A|$, tức $\sqrt{A^2} = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt{A^2} = -A$ nếu A < 0.

Hằng đẳng thức quan trọng: $\sqrt{A^2} = |A|$ được dùng rất nhiều để rút gọn biểu thức, đặc biệt khi $A$ là một biểu thức chứa ẩn mà ta chưa biết dấu.

Điều kiện xác định: Khi giải bài toán có căn thức bậc hai, bước đầu tiên luôn là tìm điều kiện để biểu thức dưới dấu căn không âm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\sqrt{49}$ và $\sqrt{(-5)^2}$.

Lời giải. $\sqrt{49} = 7$ vì $7 \ge 0$ và $7^2 = 49$. $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{2x - 6}$.

Lời giải. Căn thức xác định khi $2x - 6 \ge 0$, tức $x \ge 3$. Vậy điều kiện là $x \ge 3$.

Ví dụ 3. Rút gọn $\sqrt{(x - 3)^2}$ với x < 3.

Lời giải. $\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$. Vì x < 3 nên x - 3 < 0, do đó $|x - 3| = 3 - x$.

3. Ghi nhớ

• $\sqrt{a}$ chỉ xác định khi $a \ge 0$; số âm không có căn bậc hai.
• $(\sqrt{a})^2 = a$ với $a \ge 0$.
• $\sqrt{A^2} = |A|$ với mọi $A$.
• Căn thức $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A \ge 0$.