Bài tập cuối chương 6

1. Kiến thức trọng tâm

• Hàm số $y = ax^2$ với $a \ne 0$: đồ thị là một parabol có đỉnh tại gốc tọa độ $O$, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng. Nếu a > 0, parabol quay bề lõm lên trên và $O$ là điểm thấp nhất; nếu a < 0, parabol quay bề lõm xuống dưới và $O$ là điểm cao nhất.
• Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \ne 0$. Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$ quyết định số nghiệm: \Delta > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt; $\Delta = 0$ thì có nghiệm kép; \Delta < 0 thì vô nghiệm.
• Công thức nghiệm: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Định lí Viète: nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ và $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. Định lí này giúp nhẩm nghiệm và tìm hai số khi biết tổng, tích.
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình: chọn ẩn, đặt điều kiện, lập phương trình theo dữ kiện, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Giải phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Ta có \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$, $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$. Kiểm tra bằng Viète: tổng $3 + 2 = 5 = -\frac{b}{a}$, tích $3 \cdot 2 = 6 = \frac{c}{a}$.

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3$ m và diện tích $40$ m². Gọi chiều rộng là $x$ (m), x > 0, ta có $x(x + 3) = 40$, tức $x^2 + 3x - 40 = 0$. Giải ra $x = 5$ (loại nghiệm $x = -8$). Vậy chiều rộng $5$ m, chiều dài $8$ m.

3. Ghi nhớ

• Tính $\Delta$ trước khi kết luận số nghiệm; đừng vội dùng công thức khi \Delta < 0.
• Dùng Viète để kiểm tra nhanh nghiệm vừa tìm được.
• Với bài toán thực tế, luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn trước khi kết luận.