Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

1. Kiến thức trọng tâm

Với $a \ge 0$, $b \ge 0$, ta có quy tắc khai căn một tích:

$$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.$$

Ngược lại, với $a \ge 0$, $b \ge 0$, ta có quy tắc nhân các căn bậc hai:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}.$$

Với $a \ge 0$, b > 0, ta có quy tắc khai căn một thương:

$$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

Ngược lại, với $a \ge 0$, b > 0:

$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}.$$

Các quy tắc này cho phép ta tính căn bậc hai của các số không phải là số chính phương bằng cách phân tích thành tích của một số chính phương với một số khác, ví dụ $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Cũng nhờ đó ta rút gọn được nhiều biểu thức chứa căn, và khử mẫu ở mẫu số của phân số chứa căn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$.

Lời giải. $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

Ví dụ 2. Rút gọn $\sqrt{50}$.

Lời giải. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Ví dụ 3. Tính $\sqrt{\dfrac{27}{3}}$.

Lời giải. $\sqrt{\dfrac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$. (Cũng có thể viết $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{9} = 3$.)

Ví dụ 4. Tính $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$.

Lời giải. $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{80}{5}} = \sqrt{16} = 4$.

3. Ghi nhớ

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ với $a \ge 0$, $b \ge 0$.
• $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \ge 0$, b > 0.
• Muốn rút gọn $\sqrt{A}$: phân tích $A$ thành tích của một số chính phương với một số khác rồi khai căn số chính phương.