Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Kiến thức trọng tâm

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với $A \ge 0$, $B \ge 0$: $\sqrt{A^2B} = A\sqrt{B}$. Với A < 0, $B \ge 0$: $\sqrt{A^2B} = -A\sqrt{B}$. Tổng quát: $\sqrt{A^2B} = |A|\sqrt{B}$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn: Với $A \ge 0$, $B \ge 0$: $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2B}$. Với A < 0, $B \ge 0$: $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2B}$.

Khử mẫu của biểu thức lấy căn: Biến đổi để biểu thức dưới dấu căn không còn chứa mẫu, bằng cách nhân tử và mẫu với một số thích hợp: $\sqrt{\dfrac{A}{B}} = \sqrt{\dfrac{AB}{B^2}} = \dfrac{\sqrt{AB}}{|B|}$ (với $A \ge 0$, B > 0).

Trục căn thức ở mẫu: Dùng hằng đẳng thức để làm mất căn ở mẫu số:

• $\dfrac{1}{\sqrt{A}} = \dfrac{\sqrt{A}}{A}$ (với A > 0).
• $\dfrac{1}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \dfrac{\sqrt{A} - \sqrt{B}}{A - B}$ (với $A, B \ge 0$, $A \ne B$).
• $\dfrac{1}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \dfrac{\sqrt{A} + \sqrt{B}}{A - B}$ (với $A, B \ge 0$, $A \ne B$).

Nhờ các biến đổi này, ta rút gọn được biểu thức chứa nhiều căn thức về dạng đơn giản nhất, thường là tổng các căn thức đồng dạng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn $3\sqrt{12} - \sqrt{27} + 2\sqrt{3}$.

Lời giải. $3\sqrt{12} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$; $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. Vậy biểu thức bằng $6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu: $\dfrac{2}{\sqrt{5} + 1}$.

Lời giải. Nhân tử và mẫu với $\sqrt{5} - 1$: $\dfrac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \dfrac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

3. Ghi nhớ

• $\sqrt{A^2B} = |A|\sqrt{B}$ với $B \ge 0$.
• Trục căn thức ở mẫu dùng hằng đẳng thức $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
• Chỉ cộng, trừ được các căn thức đồng dạng (cùng biểu thức dưới dấu căn).
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi biến đổi.